Tính Diện Tích Hình Phẳng

Bài viết hướng dẫn cách thức giải bài xích toán vận dụng của tích phân để tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi một mặt đường cong và trục hoành.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. đến hàm số $y = f(x)$ liên tiếp trên đoạn $.$ diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ là: $S = int_a^b dx .$2. Học sinh cần coi lại biện pháp khử vệt giá trị tuyệt đối hoàn hảo trong công thức tính diện tích hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ cùng trục hoành mang đến bởi cách làm $S = int_alpha ^eta f(x) ight $, trong các số ấy $alpha $, $eta $ theo thứ tự là nghiệm nhỏ tuổi nhất và lớn nhất của phương trình $f(x) = 0.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây đúng?A. $S = int_b^a dx .$B. $S = int_a^b f(x)dx .$C. $S = – int_a^b f(x)dx .$D. $S = – int_b^a f(x)dx .$

Lời giải:Từ thứ thị ta có $f(x) Chọn giải đáp C.

Ví dụ 2: hotline $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây sai?A. $S = int_a^b dx .$B. $S = – int_b^a f(x)dx .$C. $S = left| int_b^a f(x)dx ight|.$D. $S = int_b^a f(x)dx .$

Lời giải:Từ đồ gia dụng thị ta có $f(x) > 0$, $forall x in $ nên:$S = int_a^b dx $ $ = left| int_a^b f(x)dx ight|$ $ = left| – int_b^a f(x)dx ight|$ $ = left| int_b^a f(x)dx ight|.$Suy ra những đáp án A cùng C đúng.$S = int_a^b f (x)dx$ $ = – int_b^a f (x)dx$, suy ra đáp án B đúng và đáp án D sai.Chọn lời giải D.

Ví dụ 3: call $S$ là diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x= a$, $x=b$ (phần gạch chéo cánh trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây đúng?A. $S = left| int_a^b f (x)dx ight|.$B. $S = int_a^c f (x)dx – int_c^d f (x)dx + int_d^b f (x)dx.$C. $S = int_a^c | f(x)|dx – int_c^d | f(x)|dx + int_d^b | f(x)|dx.$D. $S = left| int_a^c f (x)dx ight| – left| int_c^d f (x)dx ight| + left| int_d^b f (x)dx ight|.$

Lời giải:Từ thiết bị thị ta có: $f(x) ge 0$, $forall x in $; $f(x) le 0$, $forall x in $; $f(x) ge 0$, $forall x in .$Suy ra $S = int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx$ $ + int_c^d | f(x)|dx$ $ + int_d^b | f(x)|dx.$$ = int_a^c f (x)dx$ $ – int_c^d f (x)dx$ $ + int_d^b f (x)dx.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = x^2 + 3x$, $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x=1$, $x=2.$A. $S = frac416.$B. $S = frac436.$C. $S = frac476.$D. $S = frac536.$

Lời giải:Cách 1:Ta có: $S = int_1^2 left .$Bảng xét dấu:

*

Suy ra $S = int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx $ $ = left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight|_1^2$ $ = frac416.$Chọn câu trả lời A.Cách 2:Xét phương trình $x^2 + 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;2>\x = – 3 otin <1;2>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^2 x^2 + 3x ight $ $ = left| int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx ight|$ $left| left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight ight|$ $ = frac416.$Cách 3:Vẽ thứ thị ta được hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = x^2 + 3x$, $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x=1$, $x=2$ như hình bên.

*

Do đó: $S = int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx $ $ = left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight|_1^2 = frac416.$

Ví dụ 5: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = x^2 – x – 2$ cùng trục hoành bằng $fracab$, cùng với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Xác định nào dưới đây đúng?A. $a le b.$B. $a = b^2 + 1.$C. $a > b + 10.$D. $a = b + 7.$

Lời giải:Xét phương trình $x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2endarray ight..$Do đó $S = int_ – 1^2 x^2 – x – 2 ight $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx ight|$ $left| left. left( fracx^33 – fracx^22 – 2x ight) ight ight| = frac92.$Suy ra $a = 9$, $b = 2$ $ Rightarrow a = b + 7.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 6: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = x^3 – x$ với trục hoành bằng $fracab$, với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $I = 2a + 5b.$A. $I = 11.$B. $I = 12.$C. $I = 13.$D. $I = 14.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 1endarray ight..$Do đó $S = int_ – 1^1 dx $ $ = left| int_ – 1^0 left( x^3 – x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 – x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 1^0 ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 – fracx^22 ight) ight ight|$ $ = frac12.$Suy ra $a = 1$, $b = 2$ $ Rightarrow I = 2a + 5b = 12.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = 2x^2 – x^4$ và trục hoành bằng $fracabsqrt 2 $ cùng với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T = a – b.$A. $T=-7.$B. $T=1.$C. $T=4.$D. $T = 2.$

Lời giải:Xét phương trình $2x^2 – x^4 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm sqrt 2 endarray ight..$Do đó $S = int_ – sqrt 2 ^sqrt 2 2x^2 – x^4 ight $ $ = left| int_ – sqrt 2 ^0 left( 2x^2 – x^4 ight)dx ight|$ $ + left| int_0^sqrt 2 left( 2x^2 – x^4 ight)dx ight|.$$ = left| _ – sqrt 2 ^0 ight|$ $ + left| _0^sqrt 2 ight|$ $ = frac16sqrt 2 15.$Suy ra $a = 16$, $b = 15$ $ Rightarrow T = a – b = 1.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 8: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = e^x – 2$, trục hoành và đường thẳng $x=1$ bằng $a.e + b + c.ln 2$ với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $T = 2a^2018 + b + c^2.$A. $T=0.$B. $T=1.$C. $T=2.$D. $T=3.$

Lời giải:Xét phương trình $e^x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = ln 2.$Do đó $S = int_ln 2^1 e^x – 2 ight $ $ = left| int_ln 2^1 left( e^x – 2 ight)dx ight|$ $ = left| left. left( e^x – 2x ight) ight ight|$ $ = e – 4 + 2ln 2.$Suy ra $a = 1$, $b = – 4$, $c = 2$ $ Rightarrow T = 2a^2018 + b + c^2 = 2.$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 9: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = sin x + cos x – 2$, trục hoành, trục trung và đường thẳng $x = fracpi 2$ bằng $a + bpi $ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = 2a + 3b.$A. $T=-4.$B. $T=-1.$C. $T=7.$D. $T =8.$

Lời giải:Ta bao gồm $y = sin x + cos x – 2 cho nên vì thế $S = int_0^fracpi 2 | sin x + cos x – 2|dx$ $ = int_0^fracpi 2 (2 – sin x – cos )dx .$$ = left. (2x + cos x – sin x) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi – 2.$Suy ra $a = – 2$, $b = 1$ $ Rightarrow T = 2a + 3b = – 1.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 10: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = xe^x – e^x$, trục hoành và trục tung bằng $a + be$ với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = 5a + b.$A. $T = 11.$B. $T = 7.$C. $T=3.$D. $T=-9.$

Lời giải:Xét phương trình $xe^x – e^x = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Do đó $S = int_0^1 left $ $ = left| int_0^1 (x – 1)e^xdx ight|.$Sử dụng bảng:

*

$ Rightarrow S = left| left. (x – 1)e^x ight ight|$ $ = e – 2$ $ Rightarrow a = – 2$, $b = 1$ $ Rightarrow T = 5a + b = – 9.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 11: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = xln x$, trục hoành và đường thẳng $x=2$ bởi $a + bln 2$ cùng với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac72.$B. $T = frac134.$C. $T = frac194.$D. $T = frac12.$

Lời giải:Xét phương trình $xln x = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Do đó $S = int_1^2 $ $ = left| int_1^2 xln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = fracx^22endarray ight..$$S = left| _1^2 – int_1^2 fracx2dx ight|$ $ = left| left. fracx^22ln x ight ight|$ $ = 2ln 2 – frac34.$Suy ra $a = – frac34$, $b = 2$ $ Rightarrow T = 2a + b = frac12.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 12: Cho diện tích của hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $x = 1$, $x = e$, $y = 0$, $y = fracln x2sqrt x $ bởi $a + bsqrt e $ với $a$, $b$ là những số nguyên. Điểm $M(a;b)$ là đỉnh của parabol làm sao sau đây?A. $y = frac12x^2 – x.$B. $y = x^2 – 4x + 3.$C. $y = x^2 + x – 7.$D. $y = – x^2 + 2x – 1.$

Lời giải:Ta tất cả $y = fracln x2sqrt x ge 0$, $forall x in <1;e>.$Do kia $S = int_1^e fracln x2sqrt x ight $ $ = int_1^e fracln x2sqrt x dx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = frac12sqrt x dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = sqrt x endarray ight..$$S = left. sqrt x ln x ight|_1^e – int_1^e frac1sqrt x dx $ $ = left. sqrt x ln x ight|_1^e – left. 2sqrt x ight|_1^e$ $ = 2 – sqrt e .$Suy ra $a = 2$, $b = – 1$ $ Rightarrow M(2; – 1).$Suy ra $M(2; – 1)$ là đỉnh của parabol $y = x^2 – 4x + 3.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 13: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = x(2 + sin x)$, trục hoành và con đường thẳng $x = fracpi 2$ bằng $a + fracpi ^2b$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a^2 – 2b.$A. $T = 14.$B. $T = – frac3116.$C. $T = – 7.$D. $T = frac78.$

Lời giải:Xét phương trình $x(2 + sin x) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do kia $S = int_0^fracpi 2 x(2 + sin x) $ $ = int_0^fracpi 2 x (2 + sin x)dx$ (vì $x(2 + sin x) ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).Đặt $left{ eginarray*20lu = x\dv = (2 + sin x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = dx\v = 2x – cos xendarray ight..$$S = left. X(2x – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ – int_0^fracpi 2 (2x – cos x)dx .$$ = left. X(2x – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ – left. left( x^2 + sin x ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = fracpi ^24 + 1.$Suy ra $a = 1$, $b = 4$ $ Rightarrow T = a^2 – 2b = – 7.$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 14: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = 1 – sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = frac7pi 6$ bằng $a + fracsqrt 3 b + fraccdpi $ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên, $fraccd$ là phân số về tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=16.$B. $T = 10.$C. $T = frac232.$D. $T = 18.$

Lời giải:Ta bao gồm $y = 1 – sin x ge 0$, $forall x in left< 0;frac7pi 6 ight>.$Do đó $S = int_0^frac7pi 6 | 1 – sin x|dx$ $ = int_0^frac7pi 6 (1 – sin x)dx $ $ = left. (x + cos x) ight|_0^frac7pi 6$ $ = frac7pi 6 – fracsqrt 3 2 – 1.$Suy ra $a = – 1$, $b = – 2$, $c = 7$, $d = 6$ $ Rightarrow T = a + b + c + d = 10.$Chọn lời giải B.

Xem thêm: Khách Sạn Hồ Mây Vũng Tàu )

Ví dụ 15: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = an ^2x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = fracpi 6$ bằng $fracsqrt 3 a + fracpi b$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = a^2 – b.$A. $T=3.$B. $T = 33.$C. $T = 39.$D. $T=15.$

Lời giải:Ta có $S = int_0^fracpi 6 an ^2x ight $ $ = int_0^fracpi 6 an ^2 xdx$ $ = int_0^fracpi 6 left( frac1cos ^2x – 1 ight)dx $ $ = left. ( an x – x) ight|_0^fracpi 6$ $ = fracsqrt 3 3 – fracpi 6.$Suy ra $a = 3$, $b = – 6$ $ Rightarrow T = a^2 – b = 15.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 16: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = xsqrt 1 + x^2 $, trục hoành và mặt đường thẳng $x = sqrt 3 $ bằng $fracab$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Điểm $M(a;b)$ trực thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?A. $x + y > 9.$B. $2x + y C. $x + 2y D. $x + 5y > 25.$

Lời giải:Xét phương trình $xsqrt 1 + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do đó $S = int_0^sqrt 3 dx $ $ = int_0^sqrt 3 x sqrt 1 + x^2 dx.$Đặt $t = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow t^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow xdx = tdt.$Đổi cận:

*

Suy ra $S = int_1^2 t^2 dt$ $ = left. fract^33 ight|_1^2 = frac73$ $ Rightarrow a = 7$, $b = 3$ $ Rightarrow M(7;3).$Ta tất cả $7 + 3 > 9$ suy ra điểm $M(7;3)$ trực thuộc miền nghiệm bất phương trình $x + y > 9.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 17: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = x^2 – 2x + m$ $(m ge 1)$, trục hoành và các đường trực tiếp $x = 0$, $x = 2.$A. $S = 2m + frac23.$B. $S = 2m – frac23.$C. $S = 2m – frac43.$D. $S = 2m + frac43.$

Lời giải:Ta bao gồm $y = x^2 – 2x + m$ $ = (x – 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall m ge 1$, $forall x in <0;2>.$Do kia $S = int_0^2 left $ $ = int_0^2 left( x^2 – 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^2$ $ = 2m – frac43.$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 18: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = x^2 – 9$, trục hoành, trục tung và con đường thẳng $x = m$ $(m > 3).$A. $S = fracm^33 – 9m.$B. $S = fracm^33 – 9m + 36.$C. $S = fracm^33 + 9m + 36.$D. $S = fracm^33 – 9m + 18.$

Lời giải:Ta có: $S = int_0^m dx .$Bảng xét dấu:

*

Do đó $S = – int_0^3 left( x^2 – 9 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 9 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – 9x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – 9x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – 9m + 36.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: mang lại hình thang cong $(H)$ số lượng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = ln 4.$ Đường thẳng $x = k$ $(0 A. $k = frac23ln 4.$B. $k = ln 2.$C. $k = ln frac83.$D. $k = ln 3.$

Lời giải:Từ đồ thị ta có:$S_1 = int_0^k e^x dx$ $ = left. E^x ight|_0^k$ $ = e^k – 1.$$S_2 = int_k^ln 4 e^x dx$ $ = left. E^x ight|_k^ln 4$ $ = 4 – e^k.$Khi đó $S_1 = 2S_2$ $ Rightarrow e^k – 1 = 8 – 2e^k$ $ Leftrightarrow k = ln 3.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 20: cho hàm số $y = x^4 – 3x^2 + m$ tất cả đồ thị $left( C_m ight)$ với $m$ là tham số thực. Trả sử $left( C_m ight)$ giảm trục $Ox$ tại bốn điểm sáng tỏ như mẫu vẽ bên. Hotline $S_1$, $S_2$ cùng $S_3$ là diện tích các miền gạch chéo cánh được đến trên hình vẽ.

*

Tìm $m$ nhằm $S_1 + S_2 = S_3.$A. $m = – frac52.$B. $m = – frac54.$C. $m = frac52.$D. $m = frac54.$

Lời giải:Gọi $x = a$, $x = b$ $(a cho nên vì vậy $b^4 – 3b^2 + m = 0$ $(1).$Ta gồm $S_1 + S_2 = S_3$, phối kết hợp đồ thị $ Rightarrow frac12S_3 = S_2.$$int_0^a left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx $ $ = – int_a^b left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx .$$ Leftrightarrow int_0^b left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx = 0.$$left. Leftrightarrow left( fracx^55 – x^3 + mx ight) ight|_0^b = 0.$$ Leftrightarrow fracb^55 – b^3 + mb = 0$ $ Rightarrow fracb^45 – b^2 + m = 0$ $(2)$ (vì $b>0$).Từ $(1)$ và $(2)$, trừ vế theo vế ta được $frac45b^4 – 2b^2 = 0$ $ Rightarrow b^2 = frac52$ (vì $b > 0$).Thay $b^2 = frac52$ vào $(1)$ ta được $m = frac54.$Chọn lời giải D.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: mang lại hàm số $y = f(x)$ liên tiếp trên đoạn $.$ diện tích s hình phẳng giới hạn bởi con đường cong $y = f(x)$, trục hoành, những đường thẳng $x = a$, $x = b$ là:A. $int_b^a f (x)dx.$B. $int_a^b | f(x)|dx.$C. $int_a^b f (x)dx.$D. $pi int_a^b f^2 (x)dx.$

Câu 2: diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = 4x – x^3$, trục hoành, trục tung và con đường thẳng $x=4$ bằng:A. $48.$B. $44.$C. $40.$D. $36.$

Câu 3: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = frac – 3x – 1x – 1$ cùng hai trục tọa độ bởi $4ln fracab + c$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương, $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = a + b + c.$A. $T=5.$B. $T=6.$C. $T=7.$D. $T=8.$

Câu 4: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi con đường cong $y = fracln xx^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = e$ bằng $a + fracbe$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = log _2(14a – b).$A. $T=1.$B. $T=2.$C. $T=3.$D. $T=4.$

Câu 5: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = 1 – x^2$, $y = 0$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên dương và $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T= 2a+b.$A. $T=10.$B. $T=11.$C. $T=13.$D. $T=15.$

Câu 6: Hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 3x^3 + 2x$, $y = 0$, $x = a$ $(a > 0)$ có diện tích s bằng $frac74$ thì quý giá của $a$ bằng:A. $1.$B. $fracsqrt 7 2.$C. $2.$D. $3.$

Câu 7: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = xe^x$, $y = 0$, $x = – 1$, $x = 2$ bởi $e^2 + fracae + b$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a + 2b.$A. $T=-4.$B. $T=-2.$C. $T=2.$D. $T=4.$

Câu 8: Hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 0$, $y = x^2 – 2x$, $x = – 1$, $x = 2$ có diện tích được tính theo công thức:A. $S = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ – int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$B. $S = – int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$C. $S = int_ – 1^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$D. $S = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx. $

Câu 9: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = x^4 + 3x^2 + 1$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 1$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên cùng $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T = 2a – b.$A. $T = 17.$B. $T=-1.$C. $T=-17.$D. $T=1.$

Câu 10: hình vuông vắn $OABC$ có cạnh bằng $4$ được phân thành hai phần vày đường cong $(C)$ bao gồm phương trình $y = frac14x^2.$ gọi $S_1$, $S_2$ là diện tích của phần không trở nên gạch với phần bị gạch (như hình vẽ).

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac32.$B. $fracS_1S_2 = frac12.$C. $fracS_1S_2 = 2.$D. $fracS_1S_2 = 1.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánBCBDB
Câu678910
Đáp ánACAAC

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Áp dụng bí quyết tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường cong $y = f(x)$, trục hoành, những đường trực tiếp $x=a$, $x = b$ là: $S = int_a^b | f(x)|dx.$Chọn giải đáp B.

Câu 2: diện tích hình phẳng:$S = int_0^4 left $ $ = left| int_0^2 left( 4x – x^3 ight)dx ight|$ $ + left| int_2^4 left( 4x – x^3 ight)dx ight|$ $ = 40.$Chọn giải đáp C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm: $frac – 3x – 1x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac – 13.$Diện tích hình phẳng $S = left| int_ – frac13^0 frac – 3x – 1x – 1dx ight|$ $ = left| int_ – frac13^0 left( – 3 – frac4x – 1 ight)dx ight|.$$ = left| _ – frac13^0 ight|$ $ = left| – 1 + 4ln frac43 ight|$ $ = 4ln frac43 – 1.$Suy ra $a = 4$, $b = 3$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = a + b + c = 6.$Chọn giải đáp B.

Câu 4: diện tích hình phẳng:$S = int_1^e left $ $ = int_1^e fracln xx^2dx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = fracdxx^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxx\v = – frac1xendarray ight..$$S = – left. fracln xx ight|_1^e$ $ + int_1^e fracdxx^2 $ $ = – frac1e – left. frac1x ight|_1^e$ $ = 1 – frac2e$ $ Rightarrow a = 1$, $b = – 2$ $ Rightarrow T = log _2(14a – b) = 4.$Chọn lời giải D.

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm: $1 – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Diện tích $S = int_ – 1^1 1 – x^2 ight = frac43$ $ Rightarrow a = 4$, $b = 3$ $ Rightarrow T = 2a + b = 11.$Chọn đáp án B.

Câu 6: Phương trình hoành độ giao điểm: $3x^3 + 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Diện tích hình phẳng là $S = left| int_0^a left( 3x^3 + 2x ight)dx ight|$ $ = left| left. left( frac3x^44 + x^2 ight) ight ight|$ $ = frac3a^44 + a^2.$$S = frac74$ $ Rightarrow frac3a^44 + a^2 = frac74$ $ Leftrightarrow a^2 = 1$ $ Rightarrow a = 1.$Chọn đáp án A.

Câu 7: diện tích s $S = int_ – 1^2 xe^x ight $ $ = – int_ – 1^0 x e^xdx + int_0^2 x e^xdx.$Sử dụng bảng:

*

Suy ra $S = – left. left( xe^x – e^x ight) ight|_ – 1^0$ $ + left. left( xe^x – e^x ight) ight|_0^2$ $ = e^2 – frac2e + 2$ $ Rightarrow a = – 2$, $b = 2$ $ Rightarrow T = a + 2b = 2.$Chọn giải đáp C.

Câu 8: $S = int_ – 1^2 x^2 – 2x ight $ $ = int_ – 1^0 left + int_0^2 x^2 – 2x ight .$$ = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx – int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$Chọn giải đáp A.

Câu 9: $S = int_0^1 left = frac115$ $ Rightarrow a = 11$, $b = 5$$ Rightarrow S = 2a – b = 17.$Chọn lời giải A.

Câu 10: Ta có:$S_2 = int_0^4 left( frac14x^2 ight)dx $ $ = left. fracx^312 ight|_0^4 = frac163.$$S_1 = S_OABC – S_2$ $ = 16 – frac163 = frac323$ $ Rightarrow fracS_1S_2 = 2.$Chọn lời giải C.