Ví dụ 1: Hệ có hai véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là 1 trong cơ sở của không khí $mathbbR^2$ vì chưng $P_1,P_2$ tự do tuyến tính bởi vì không tỉ lệ.
Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto có lời giải
Ví dụ 2: Hệ gồm cha véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là 1 trong cơ sở của không khí $mathbbR^3$ bởi vì $P_1,P_2,P_3$ hòa bình tuyến tính.
Ví dụ 3: Hệ tất cả n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là 1 cơ sở của không gian $mathbbR^n.$
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ bao gồm 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là một trong cơ sở của $mathbbR^3$ với tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là một trong những cơ sở của $mathbbR^3$ cùng tìm toạ độ của véctơ $v$ trong đại lý đó:
a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$
b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$
c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$
d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ có 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ dưới đây
$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$
là một các đại lý của $mathbbR^4$ với tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong cơ sở đó.
Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ tất cả 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ có 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^4.$
Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ search một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^4.$
Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm cho véctơ dòng, bao gồm $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$
Ta buộc phải tìm $(a,b,c,d)$ sao để cho $det (A) e 0.$ triển khai theo chiếc 4 có:
$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$
Vậy ta chỉ việc chọn $a=b=d=0,c e 0$ khi đó $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$
Ví dụ 7: Cho bố véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ tìm kiếm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ nhằm hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^4.$
Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, có $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ thế nào cho $det (A) e 0.$ triển khai theo dòng 4 có:
$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$
Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d e 0$ khi đó $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$
Cho L là một không khí con của $mathbbR^3.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ nằm trong L được gọi là một trong cơ sở của L ví như thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ tự do tuyến tính;Mọi véctơ $Xin L$ đa số được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$Số véctơ của các đại lý của L được call là số chiều của L với được kí hiệu là dimL.
Ví dụ 1: Cho không gian con $L=leftx_2=2x_1 ight.$ minh chứng rằng hệ có hai véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 2: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3.$ search một đại lý và số chiều của L.
Ví dụ 4: Cho không gian con $L=leftax_1+bx_2+cx_3=0 ight(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ chứng tỏ rằng hệ tất cả hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.
Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3(a e 0).$
Vậy $X=left( -fracbax_2-fraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -fracbax_2,x_2,0 ight)+left( -fraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -fracba,1,0 ight)+x_3left( -fracca,0,1 ight).$
Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ chủ quyền tuyến tính vì không tỉ lệ cần hệ có hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.
Ví dụ 8: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 9: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ tìm kiếm một các đại lý và số chiều của L.
Ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ tra cứu một các đại lý và số chiều của L.
Ví dụ 11: Cho không khí con $L=left X=(a,b,c,d)in mathbbR^4.$ tra cứu một các đại lý và số chiều của L.
Ví dụ 12: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ tìm kiếm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 13: Cho không khí con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ tra cứu một cửa hàng và số chiều của L.
Ví dụ 14: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một trong cơ sở của L.
Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3-fracdax_4(a e 0).$Vậy
$eginarrayc X = left( - fracbax_2 - fraccax_3 - fracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - fracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - fraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - fracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - fracba,1,0,0 ight) + x_3left( - fracca,0,1,0 ight) + x_4left( - fracda,0,0,1 ight). endarray$
Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ tự do tuyến tính đề nghị hệ gồm bavéctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.
Hiện tại zagranmama.com thành lập 2 khoá học Toán thời thượng 1 và Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường:
Sinh viên những trường ĐH sau đây có thể học được full bộ này:
- ĐH kinh tế Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH yêu đương Mại
- học viện Tài Chính
- học viện chuyên nghành ngân hàng
- ĐH tài chính ĐH non sông Hà Nội
và các trường đại học, ngành tài chính của những trường ĐH không giống trên mọi cả nước...