Tài Liệu Bài Tập Không Gian Vecto Có Lời Giải, Cơ Sở Của Không Gian Véctơ

Bài viết này zagranmama.com giới thiệu đến bạn đọc định hướng kèm ví dụ bài bác tập chi tiết về cơ sở của không khí véctơ:

1. đại lý của không khí véctơ

Trong không gian $mathbbR^n$ mỗi hệ bao gồm $n$ véctơ $left P_1,P_2,...,P_n ight$ tự do tuyến tính được gọi là 1 trong cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

Ví dụ 1: Hệ có hai véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là 1 trong cơ sở của không khí $mathbbR^2$ vì chưng $P_1,P_2$ tự do tuyến tính bởi vì không tỉ lệ.

Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto có lời giải

Ví dụ 2: Hệ gồm cha véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là 1 trong cơ sở của không khí $mathbbR^3$ bởi vì $P_1,P_2,P_3$ hòa bình tuyến tính.

Ví dụ 3: Hệ tất cả n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là 1 cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

2. Toạ độ của một véctơ so với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$ là 1 cơ sở của $mathbbR^n.$ lúc ấy mọi véctơ $Xin mathbbR^n$ đầy đủ được màn trình diễn tuyến tính một phương pháp duy nhất qua hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$, có nghĩa là luôn tồn tại tuyệt nhất $n$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _n$ làm thế nào để cho $X=alpha _1P_1+alpha _2P_2+...+alpha _nP_n.$ bộ số $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ được điện thoại tư vấn là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $left P_1,P_2,...,P_n ight.$Ta đã hiểu được $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là nghiệm của hệ tuyến đường tính gồm ma trận hệ số mở rộng $overlineA=left( P_1P_2...P_nX ight)$ trong số ấy $P_1,P_2,...,P_n,X$ viết bên dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ bao gồm 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là một trong cơ sở của $mathbbR^3$ với tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là một trong những cơ sở của $mathbbR^3$ cùng tìm toạ độ của véctơ $v$ trong đại lý đó:

a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ có 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ dưới đây

$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$

là một các đại lý của $mathbbR^4$ với tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong cơ sở đó.

Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ tất cả 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ có 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^4.$

Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ search một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm cho véctơ dòng, bao gồm $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta buộc phải tìm $(a,b,c,d)$ sao để cho $det (A) e 0.$ triển khai theo chiếc 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ việc chọn $a=b=d=0,c e 0$ khi đó $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$

Ví dụ 7: Cho bố véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ tìm kiếm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ nhằm hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, có $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ thế nào cho $det (A) e 0.$ triển khai theo dòng 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d e 0$ khi đó $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$

3. Các đại lý và số chiều của không gian con

Cho L là một không khí con của $mathbbR^3.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ nằm trong L được gọi là một trong cơ sở của L ví như thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ tự do tuyến tính;Mọi véctơ $Xin L$ đa số được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$

Số véctơ của các đại lý của L được call là số chiều của L với được kí hiệu là dimL.

Ví dụ 1: Cho không gian con $L=leftx_2=2x_1 ight.$ minh chứng rằng hệ có hai véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.

Ví dụ 2: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3.$ search một đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 4: Cho không gian con $L=leftax_1+bx_2+cx_3=0 ight(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ chứng tỏ rằng hệ tất cả hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3(a e 0).$

Vậy $X=left( -fracbax_2-fraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -fracbax_2,x_2,0 ight)+left( -fraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -fracba,1,0 ight)+x_3left( -fracca,0,1 ight).$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ chủ quyền tuyến tính vì không tỉ lệ cần hệ có hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Xem thêm: 4 Website Chuyển Văn Bản Thành Giọng Nói Tiếng Việt Online, Chuyển Văn Bản Thành Giọng Nói Tiếng Việt Online

Ví dụ 8: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ tìm kiếm một các đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ tra cứu một các đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không khí con $L=left X=(a,b,c,d)in mathbbR^4.$ tra cứu một các đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ tìm kiếm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không khí con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ tra cứu một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một trong cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3-fracdax_4(a e 0).$Vậy

$eginarrayc X = left( - fracbax_2 - fraccax_3 - fracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - fracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - fraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - fracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - fracba,1,0,0 ight) + x_3left( - fracca,0,1,0 ight) + x_4left( - fracda,0,0,1 ight). endarray$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ tự do tuyến tính đề nghị hệ gồm bavéctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Hiện tại zagranmama.com thành lập 2 khoá học Toán thời thượng 1 và Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường: